CASOS DE FACTORIZACION

caso i

factor COMÚN

¿Por qué se llama "Factor común"?

Porque en general el Caso se aplica cuando en todos los términos hay un "factor común". 

EJEMPLO 1: 

 (Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)


El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.

 

CASO II

FACTOR COMÚN POR AGRUPAMIENTO.

En este caso de factorización consiste en agrupar a un grupo de términos con un factor común entre ellos.

Ejemplo 1.

1ero.-  Se escribe la ecuación y se observan las parejas de términos que tengan algo en común.

6m-9n+21nx-14mx

2do.-  Se agrupan estos términos teniendo en cuenta sus signos.

6m-9n+21nx-14mx

(6m-14mx) –(9n-21nx)

3ero.- Se extrae el término  que es común en cada agrupación  del corchete y los dividimos para cada uno  de los términos del grupo al que pertenecen.

(6m - 14mx) – (9n - 21nx)

2m (3-7x) - 3n (3-7)=

4to. Se nos presenta un nuevo factor común y lo copiamos tal como está y lo dividimos para cada término.

2m (3-7x) - 3n (3-7)=

(3-7x) (2m-3n)

Esta es nuestra respuesta del caso de Factorización  por Agrupamiento.

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

“El trinomio cuadrado perfecto” es el desarrollo del “cuadrado de un binomio”

Regla:

Es un trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:

1.     El cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.

Ejemplo:

Este es un conocimiento previo:

Resultado del siguiente producto notable:

(a + b)² = a² + 2b + b²

(a - b)² = a² – 2ab + b²

CASO IV

 DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Regla:

La diferencia de dos cuadrados es igual producto de dos factores. En el primero se escribe la suma y en el otro la diferencia de sus raíces cuadradas.

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo.

Se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del

sustraendo

Ejemplo:

                                      49x⁴y² – 64w¹⁰z¹⁴

                        7x²y   8w⁵z⁷

           (7x²y + 8w⁵z⁷) (7x²y - 8w⁵z⁷) R//

CASO V

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICCIÓN Y SUSTRACCIÓN

Para saber si es un trinomio cuadrado perfecto debe tener  tres términos y deben tener raíz cuadrada deben  tener raíz cuadrada y ser positivo.

Ejemplo                                              X⁴+x²+1

Paso 1 sacamos la raíz cuadrada del primer y segundo termino

X⁴+x²+1

                                                           X²        1

Paso 2: para que sea un trinomio cuadrado perfecto el segundo término debe convertirse en el doble producto de estas raíces 2(X²)( 1)=2 X² lo cual se consigue sumándole  x²  ,pero para que el trinomio no varié hay que restarle la misma cantidad que se le suma y tendremos:

x⁴  + x²  + 1

                                                                  +x²            - x²

                                                          x⁴   +2 x²    +1  - x²

Paso 3. Factor izamos el trinomio cuadrado perfecto

                                                          (x⁴   +2 x²    +1) - x²

       (X² + 1)²- x²

Paso 4. Que hay una diferencia de cuadrados perfectos la resolvemos

(x² + 1)²- x²

(x² + 1+ x)   (x² + 1- x)  

La respuesta quedaría:     (x² + 1+ x)   (x² + 1- x)  

 CASO ESPECIAL

FACTORAR UNA SUMA DE DOS CUADRADOS

a⁴+4b⁴

                                                                 a²+2b²

Paso 1: para que sea un trinomio le falta su segundo término que es el duplo del producto de sus raíces 2(a²) (2b²⁾=4a² b² para para completar el trinomio entonces le sumamos 4a² b² y para que no varié le restamos la misma cantidad.

      a⁴                    +4b⁴

                        + 4a² b²               - 4a² b²

                                                            a⁴  + 4a² b²    +4b⁴  - 4a² b²

       

 Paso 2: resolvemos el trinomio cuadrado perfecto

                                                       (  a⁴  + 4a² b²    +4b⁴  )- 4a² b²

(a²+2b²) - 4a² b²

                     (a²+2b²+2ab) (a²+2b²-2ab)

Caso VI

 Trinomio de la forma    ax²ⁿ+ bxⁿ + c

Se identifica por tener tres términos, hay un literal con exponente elevado al cuadrado y uno de ellos es el término independiente.

Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

EJEMPLO:

2x² + 5x -12 =

CASO VII

TRINOMIO DE LA FORMA    ax² + bx + c

Para identificar  este caso se debe tomar en cuenta que tengan  3 términos. El primer término debe ser  distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente.

Ejemplo:   4X² +12X+9

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer término (4x²):

4X² (4) + 12x (4) + (9.4)

4² + 12x (4) + 36

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x:

6*6=36

6+6=12

Después procedemos a colocar de forma completa el término x² sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente:

(4X+6) (4X+6)

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x²:

La respuesta a nuestro cao de Factorización nos quedaría de la siguiente manera:   (2X+3) (2X+3)

CASO viii

CUBO PERFECTOS DE BINOMIOS

La expresión resultante de los productos consta de cuatro términos y se le llama “cubo perfecto de un binomio”

• Debe tener cuatro términos, y estar ordenado con respecto a una letra.

• Dos de sus términos, el 1º (a) y el 4º (b), deben poseer raíz cúbica exacta.

• El segundo término debe ser igual al triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)(b)].

• El tercer término debe ser igual al triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)(b)].

• El segundo y el cuarto termino deben tener el mismo signo y puede ser positivo o negativo, el primer y tercer término siempre son positivos (si el primer y tercer término son negativos realizar factor común con el factor -1).

• Si todos los términos son positivos el resultado es el cubo de la suma de dos cantidades (a + b), si hay términos negativos el resultado es el cubo de la diferencia de dos cantidades (a – b).

Ejemplo:    27a² – 54a²b² +36ab⁴ -8b⁶

                      3a                                 2b⁶

                        3(3a)²(2b²)= 54a²b²

                                    3(3a)(2b²)²= 36ab²

                            R// (3a – 2b²)³

Caso IX

 SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Reglas:

 “La suma de cubos es igual al producto de dos factores. El primer factor es la suma de las raíces cubicas, mientras que el segundo factor es un trinomio con los signos alternados, el cual está formado por el cuadrado de la primera raíz menos el producto de las dos y más el cuadrado de la segunda”

“La diferencia de cubos es igual al producto de dos factores. El primer factor es la diferencia de las raíces cubicas, mientras que el segundo factor es un trinomio con todos los signos positivos; el cual está formado por el cuadrado de la primera raíz más el producto de los dos y más el cuadrado de la segunda”

CASO X

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Este caso se lo reconoce porque sus exponentes deben ser iguales ya sean números pares o impares 

m⁵+n⁵

     

Paso 1.- Sacamos la raíz  quinta de m y de n

m⁵+n⁵

                                                                    m+ n

Paso 2.- Procedemos a resolver cuando tenemos signo positivo la operación varia + - m disminuye y n aumenta

m+n= (m⁴-m³n¹-m²n²-m¹n³+n⁴)